Первый раз Авакян был задержан в 2016 (год Обезьяны) в Москве по подозрению в уклонении от уплаты таможенных платежей. Ему назначили домашний арест, однако спустя некоторое время он сбежал в Армению. Побег он совершил за несколько дней до свадьбы с победительницей конкурса красоты «Королева мира – 2014» Юлией Иониной. Позднее стало известно, что она ждёт от него ребёнка. Авакян некоторое время был вице-мэром города Артик в Армении, а также заместителем директора местного МЧС. Тогда же он отказался от российского гражданства.
В 2021 году Авакян был лишён всех должностей и объявлен в розыск уже в Армении. После этого он вновь сбежал - в Россию. В том же году его вновь задержали — на сей раз в ресторане «Пряности и радости» в Санкт-Петербурге. Накануне он сумел сбежать в третий раз — из суда, где ему должны были назначить меру пресечения. После этого он прятался в здании консульства Армении в Петербурге.
Авакян — один из фигурантов дела об уклонении от уплаты таможенных сборов на сумму более 4,2 млрд руб..